Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. - Science, Technology, Engineering and Mathematics (S.T.E.M.)

Μάθημα: "Σύγχρονες διδακτικές προσεγγίσεις"

Ενότητα: "Επίλυση προβλημάτων στα Μαθηματικά - Παραδείγματα - Mathematica"

Δρ Κορρές Κωνσταντίνος

 

 

Σύμφωνα με τη μάθηση μέσω ανακάλυψης (Discovery Learning), οι μαθητές ενδείκνυται να ενθαρρύνονται να ανακαλύπτουν τις μαθηματικές έννοιες και ιδέες και να αποκτήσουν μία γενικότερη στάση εξερεύνησης και πειραματισμού. Επίσης η διδασκαλία θα πρέπει να αποβλέπει στην καλλιέργεια της διαισθητικής σκέψης, στην ικανότητα δηλαδή των μαθητών να φτάνουν άμεσα στη λύση ενός προβλήματος, χωρίς να μπορούν ακόμα να δώσουν μία τυπική λύση και να διαμορφώνουν επιτυχημένες εικασίες ή να επιλέγουν μεταξύ των πιθανών μεθόδων λύσης ενός προβλήματος.

Σύμφωνα με τη Θεωρία Κατασκευής της Γνώσης (Constructivism), οι μαθητές κατασκευάζουν ενεργητικά τη γνώση χρησιμοποιώντας τις προϋπάρχουσες γνώσεις τους. Οι μαθητές ενδείκνυται να ασχολούνται ενεργητικά με την εξερεύνηση προβληματικών καταστάσεων, να ψάχνουν για πρότυπα, να διαμορφώνουν υποθέσεις τις οποίες να αξιολογούν και να γενικεύουν, να επεξεργάζονται διάφορα υλικά, να χειρίζονται σύμβολα και να συσχετίζουν τα παραπάνω, να επικοινωνούν και να ανταλλάσσουν ιδέες μεταξύ τους και με το δάσκαλο.

Όταν σχεδιάζουμε δραστηριότητες ανακαλυπτικής και κατασκευαστικής μάθησης, ακολουθούμε συνήθως τη διαδικασία:

1) Αρχικά ενδείκνυται να έχουμε κινητοποίηση ενδιαφέροντος των μαθητών μέσω της σύνδεσης της ενότητας με την πραγματικότητα ή με άλλες Επιστήμες.

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν εικόνες, ιστορίες, προβλήματα, βίντεο, ταινίες κλπ. Από τα υλικά ερεθίσματος θα πρέπει να προκύπτουν κάποια ερωτήματα για τη συνέχεια του μαθήματος.

2) Στη συνέχεια δίνονται στους μαθητές δραστηριότητες ή προβλήματα ανακαλυπτικής και κατασκευαστικής μάθησης, πολλές φορές υπό τη μορφή ενός ηλεκτρονικού ή έντυπου φύλλου εργασίας.

Χρησιμοποιώντας κατάλληλες ερωτήσεις αναδεικνύονται οι ιδέες των μαθητών.

3) Οι μαθητές εργαζόμενοι ατομικά ή σε ομάδες, μέσω της ενασχόλησης με κατάλληλα επιλεγμένο ή διαμορφωμένο υλικό και τη χρήση κατάλληλων εργαλείων του υπολογιστή, διατυπώνουν εικασίες ή υποθέσεις.

Οι μαθητές μέσω του πειραματισμού με τις έννοιες, ελέγχουν αν ισχύουν οι υποθέσεις και οι εικασίες τους και έρχονται σε γνωστική σύγκρουση.

4) Μέσω συζήτησης οι μαθητές καταλήγουν σε συμπεράσματα, τα οποία καταγράφονται, έχοντας μία κοινωνική κατασκευή της γνώσης.

5) Γίνεται μία σύνοψη και αναστοχασμός των συμπερασμάτων που προέκυψαν από τη διδασκαλία, αλλά και των διαδικασιών που ακολουθήθηκαν για τη μάθηση και τα παραπάνω παρουσιάζονται αν είναι εφικτό σε ένα πίνακα – σχεδιάγραμμα ή σε ένα χάρτη εννοιών (μεταγνώση).

Το μαθηματικό πακέτο Mathematica είναι ένα γνωστικό εργαλείο (cognitive tool) το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί αποτελεσματικά στα πλαίσια ανακαλυπτικών–κατασκευαστικών προσεγγίσεων, κυρίως επειδή ο συμβολισμός των πράξεων, συμβόλων και αντικειμένων είναι παρόμοιος με το συνήθη μαθηματικό συμβολισμό, έχει μία δομή βασισμένη στις συναρτήσεις, η οποία μας επιτρέπει να ορίσουμε και να μελετήσουμε γεωμετρικά αντικείμενα, έννοιες και ιδιότητες ως πραγματικές συναρτήσεις πραγματικών μεταβλητών και επίσης προσφέρει πολλές δυνατότητες στην εύκολη, γρήγορη και ακριβή σχεδίαση γραφημάτων στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο.

H Υπολογιστική Επιστήμη (Computational Science) ορίζεται ως η επιστήμη που περιλαμβάνει τρεις περιοχές, τη μαθηματική μοντελοποίηση φαινομένων, τις αριθμητικές μεθόδους για επιστημονικούς υπολογισμούς και την επιστημονική οπτικοποίηση. Στην Υπολογιστική Επιστήμη το μοντέλο, η προσομοίωση και το υπολογιστικό πείραμα παίρνουν τη θέση του «κλασικού» πειράματος.

Ένα από τα βασικά συστατικά αυτού του πεδίου έρευνας είναι η σωστή αφαίρεση ενός φυσικού φαινομένου σε ένα εννοιολογικό μοντέλο και η μετάφραση σε ένα υπολογιστικό μοντέλο το οποίο να μπορεί να επαληθευτεί. Αυτό μας οδηγεί στη έννοια του υπολογιστικού πειράματος, όπου το μοντέλο και ο υπολογιστής παίρνουν τη θέση της «κλασικής» πειραματικής διάταξης και η προσομοίωση αντικαθιστά το πείραμα.

Προτείνουμε το σχεδιασμό και τη χρήση ηλεκτρονικών φύλλων εργασίας τα οποία είναι υλοποιημένα στο Mathematica, υποστηρίζουν την ανακαλυπτική μάθηση και περιέχουν δραστηριότητες οι οποίες μέσω βημάτων, ενεργειών και ερωτήσεων, καθοδηγούν τους/τις μαθητευόμενους/ες στον πειραματισμό με τις έννοιες, στη διαμόρφωση και τον έλεγχο εικασιών και στη διαμόρφωση γενικών συμπερασμάτων μετά από συζήτηση.

Τα ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας ενδείκνυται να περιέχουν :

α) Δραστηριότητες σχετικές με τα θέματα υπό διαπραγμάτευση, οι οποίες υπό τη μορφή βημάτων, ενεργειών και ερωτήσεων, να καθοδηγούν τους εκπαιδευομένους στον πειραματισμό με τις έννοιες, στη διατύπωση και τον έλεγχο εικασιών και στη διατύπωση μέσω συζήτησης γενικών συμπερασμάτων,

β) Βασικές εντολές του νοητικού εργαλείου και τα απαιτούμενα προγράμματα για τα θέματα υπό διαπραγμάτευση,

γ) Υποδείξεις σχετικά με το μαθηματικό αντικείμενο και τις λειτουργίες του νοητικού εργαλείου και

δ) Ασκήσεις οι οποίες μπορούν να επιλυθούν με τη χρήση και τροποποίηση των υπαρχόντων στο φύλλο εργασίας εντολών και προγραμμάτων του νοητικού εργαλείου.

Οι εκπαιδευόμενοι ενδείκνυται να είναι χωρισμένοι σε ομάδες των 2 ή 3 ατόμων ανά υπολογιστή. Πρέπει να συνεργάζονται με τα μέλη των ομάδων τους, με τα μέλη άλλων ομάδων και με τον εκπαιδευτικό στην αντιμετώπιση των προβληματικών καταστάσεων που συναντούν κατά την εργασία τους με το ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας. Πρέπει επίσης να τους δίνεται η δυνατότητα να θέτουν υπό συζήτηση ερωτήσεις, εικασίες και συμπεράσματα στην κοινότητα της τάξης.

Επίσης να μπορούν ανά πάσα στιγμή να ζητήσουν τη βοήθεια του εκπαιδευτικού , σχετικά με την κατανόηση των στοιχείων της θεωρίας που αναφέρονται στο μάθημα και τη χρήση, τη σύνταξη και τη λειτουργία των εντολών του λογισμικού.

Παρακάτω παρουσιάζονται σημειώσεις σχετικά με την ανακαλυπτική–κατασκευαστική προσέγγιση στη διδασκαλία των Μαθηματικών και των Θετικών Επιστημών, με την επίλυση προβλημάτων με τη βοήθεια του Mathematica. Επίσης παρουσιάζεται ένας οδηγός χρήσης του Mathematica και διδακτικές εφαρμογές για τη διδασκαλία και μάθηση θεμάτων από τα Μαθηματικά και τις Θετικές Επιστήμες (Ανάλυση, Άλγεβρα, Μηχανική κλπ), με το σχεδιασμό, την ανάπτυξη και την υλοποίηση ηλεκτρονικών φύλλων εργασίας στο Mathematica.

 

 

 

 

 

1) Σημειώσεις ενότητας "Επίλυση προβλημάτων στα Μαθηματικά - Παραδείγματα - Mathematica"

  α) Ανακαλυπτικές και κατασκευαστικές προσεγγίσεις με τη βοήθεια ηλεκτρονικών φύλλων εργασίας του Mathematica      

  Korres K. (2015). Discovery learning and constructivistic approaches via electronic worksheets. STEM. ASPETE.pdf

 

  β) Οδηγός χρήσης του Mathematica. Διδακτικές εφαρμογές σε θέματα Μαθηματικών και Θετικών Επιστημών

  Korres K. (2015). Mathematica manual and applications. STEM. ASPETE.pdf

 

2) Η πλατφόρμα Wolfram Development Platform

  Μπορεί κάποιος να "τρέξει" online το Mathematica μέσω της πλατφόρμας  Wolfram Development Platform στην παρακάτω διεύθυνση:

  http://develop.open.wolframcloud.com/app/

  ακολουθώντας μετά τη διαδρομή: Create A New Notebook.

 

3) Ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας στο Mathematica

  α) Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις Συναρτήσεις δύο μεταβλητών (Απειροστικός Λογισμός)

  Calculus, Functions of 2 variables.nb

 

  β) Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στους Πολλαπλασιαστές Langrance (Απειροστικός Λογισμός)

  Calculus, Langrance Multipliers.nb

 

  γ) Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις Γραμμικές συναρτήσεις (Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου) 

  G Gymnasium, Linear functions.nb

 

  δ) Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη Μελέτη συνάρτησης (Άλγεβρα Α΄ Λυκείου) 

  A Lyceum, Studying functions.nb

 

  ε)  Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη Σύνθεση Ταλαντώσεων (Μεθοδολογία υπολογιστικού πειράματος)

  Physics, Oscillations, Comput Experiment.nb

 

4) Ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας στο Mathematica αποθηκευμένα σε μορφή html

  α) Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις Συναρτήσεις δύο μεταβλητών (Απειροστικός Λογισμός) σε μορφή html

  Calculus, Functions of 2 variables.html

 

  β) Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στους Πολλαπλασιαστές Langrance (Απειροστικός Λογισμός) σε μορφή html

  Calculus, Langrance multipliers.html

 

  γ) Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις Γραμμικές συναρτήσεις (Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου) σε μορφή html

  G Gymnasium, Linear functions.html

 

  δ) Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη Μελέτη συνάρτησης (Άλγεβρα Α΄ Λυκείου) σε μορφή html

  A Lyceum, Studying functions.html

 

  ε)  Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη Σύνθεση Ταλαντώσεων (Μεθοδολογία υπολογιστικού πειράματος) σε μορφή html

  Physics, Oscillations.html

 

5) Δραστηριότητα ενότητας

  Δραστηριότητα, Σύγχρονες διδακτικές προσεγγίσεις, Κορρές Κ..doc

 

6) Παραδείγματα ψηφιακών σεναρίων διδασκαλίας

Τα τελευταία χρόνια ο σχεδιασμός και η ανάπτυξη σεναρίων διδασκαλίας τα οποία ενσωματώνουν καινοτόμες διδακτικές προσεγγίσεις και στρατηγικές   (διερευνητική, ομαδοσυνεργατική κλπ) και αξιοποιούν τη δυναμική των ψηφιακών τεχνολογιών γίνεται ολοένα και πιο σημαντικό κομμάτι της δουλειάς των εκπαιδευτικών.

Ως αποτέλεσμα της έντονης κινητικότητας στο πεδίο του εκπαιδευτικού σχεδιασμού έχουμε:

  α) Ανάπτυξη και αξιοποίηση πληθώρας εργαλείων μαθησιακού σχεδιασμού (learning design tools).

  β) Ολοένα αυξανόμενη ανάπτυξη και αξιοποίηση διαδικτυακών πυλών – αποθετηρίων που φιλοξενούν πολλαπλά σενάρια μάθησης για ποικίλα γνωστικά αντικείμενα.

Ενδεικτικά παραδείγματα διαδικτυακών πυλών–αποθετηρίων αποτελούν:

Παραδείγματα ψηφιακών σεναρίων τα οποία ενσωματώνουν δραστηριότητες διερευνητικής – ανακαλυπτικής μάθησης για τα Μαθηματικά από την πλατφόρμα «Αίσωπος»: