ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LANGRANCE

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η :
Βρείτε γεωμετρικά τα ακρότατα της συνάρτησης f(x, y) = 10 + x + 3 y - x^( 2)-y^( 2), (x, y) ∈ R^2 υπό τον περιορισμό g(x, y) = 2 x + 3 y - 12 = 0.  

BHMA 1:
Ορίζουμε τις συναρτήσεις f(x, y) και g(x, y) στο πρόγραμμα.   

f[x_, y_] := 10 + x + 3 * y - x^2 - y^2

g[x_, y_] := 2 * x + 3 * y - 12

BHMA 2:
ΒΗΜΑ 2 α:
Τι παριστάνει γεωμετρικά το σύνολο των σημείων που επαληθεύουν την εξίσωση: z = f(x, y);



Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x, y) στο χώρο.

a = Plot3D[f[x, y]//Evaluate, {x, 0, 3}, {y, 0, 5}, AspectRatio→1, AxesLabel→ {"x", "y", "z"}]

[Graphics:HTMLFiles/Calculus, Langrance multipliers_7.gif]

-SurfaceGraphics -



ΒΗΜΑ 2 β:
Τι παριστάνει γεωμετρικά ο περιορισμός g(x, y) = 0;



Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση του περιορισμού στο χώρο.    

Solve[g[x, y] == 0, y]

b = ParametricPlot3D[{x, -2/3 (-6 + x), z}//Evaluate, {x, 0, 3}, {z, -7, 15}, AspectRatio→1, AxesLabel→ {"x", "y", "z"}]

{{y→ -2/3 (-6 + x)}}

[Graphics:HTMLFiles/Calculus, Langrance multipliers_12.gif]

-Graphics3D -



ΒΗΜΑ 3:
Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος εύρεσης μεγίστων και ελαχίστων τιμών της συνάρτησης f(x, y) σε σημεία τα οποία ικανοποιούν τη σχέση: g(x, y) = 0;

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση των f(x, y) και του περιορισμού g(x, y) = 0 στο ίδιο γράφημα.

Show[a, b]

[Graphics:HTMLFiles/Calculus, Langrance multipliers_15.gif]

-Graphics3D -


ΒΗΜΑ 4:
Μπορείτε να διατυπώσετε μια εικασία σχετικά με το ποιές είναι οι μέγιστες ή ελάχιστες τιμές της συνάρτησης f(x, y) σε σημεία τα οποία ικανοποιούν τη σχέση: g(x, y) = 0;



ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η :
Βρείτε με τη μέθοδο Langrance τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης f(x, y) = 10 + x + 3 y - x^( 2)-y^( 2), (x, y) ∈ R^2 υπό τον περιορισμό g(x, y) = 2 x + 3 y - 12 = 0.  

ΒΗΜΑ 1:
Θεωρούμε τη συνάρτηση F(x, y) =  f(x, y) + m g(x, y), όπου m = ο πολλαπλασιαστής Langrance και την ορίζουμε στο πρόγραμμα.   

F[x_, y_, m_] := f[x, y] + m * g[x, y]//Expand

F[x, y, m]

10 - 12 m + x + 2 m x - x^2 + 3 y + 3 m y - y^2


ΒΗΜΑ 2:
Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους ∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂^2F/∂x^2, ∂^2F/∂y^2, ∂^2F/(∂x∂y). Επίσης τις ∂g/∂x,∂g/∂y.   

∂_x F[x, y, m]

1 + 2 m - 2 x

∂_y F[x, y, m]

3 + 3 m - 2 y

∂_ (x, x) F[x, y, m]

-2

∂_ (y, y) F[x, y, m]

-2

∂_ (x, y) F[x, y, m]

0

∂_ (y, x) F[x, y, m]

0

∂_x g[x, y]

2

∂_y g[x, y]

3


ΒΗΜΑ 3:
Επιλύουμε το σύστημα:  
∂F/∂x= 0, ∂F/∂y = 0, g(x, y) = 0.
Προκύπτουν τριάδες λύσεων της μορφής (xo, yo, m).
Τα σημεία (xo, yo) είναι πιθανά σημεία τοπικών ακροτάτων, με αντίστοιχο ακρότατο το f(xo, yo).    

Solve[{∂_x F[x, y, m] == 0, ∂_y F[x, y, m] == 0, g[x, y] == 0 }, {x, y, m}]

{{x→3/2, y→3, m→1}}

f[3/2, 3]

37/4



ΒΗΜΑ 4:
Για κάθε πιθανό σημείο τοπικού ακροτάτου (xo, yo), ελέγχουμε αν είναι τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο ως εξής:
Υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα Α = (

∂^2F/∂x^2 ∂^2F/(∂x ∂y) ∂g/∂x
∂^2F/(∂y ∂x) ∂^2F/∂y^2 ∂g/∂y
∂g/∂x ∂g/∂y 0
).
(α) Αν Det(A) > 0 τότε έχουμε μέγιστο το f(xo, yo) στο σημείο (xo, yo).
(β) Αν Det(A) < 0 τότε έχουμε ελάχιστο το f(xo, yo) στο σημείο (xo, yo).

Det[({{-2, 0, 2}, {0, -2, 3}, {2, 3, 0}})]

26




ΑΣΚΗΣΗ:
(α) Προσδιορίστε γεωμετρικά τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης f(x, y) = 5 + x + 3 y - x^2, (x, y) ∈ R^2 υπό τον περιορισμό g(x, y) = x^2 + 3 y - 4 = 0.  





(β) Βρείτε με τη μέθοδο Langrance τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης f(x, y) = 5 + x + 3 y - x^2, (x, y) ∈ R^2 υπό τον περιορισμό g(x, y) = x^2 + 3 y - 4 = 0.  





Created by Mathematica  (November 4, 2015) Valid XHTML 1.1!